Lý thuyết hình chữ nhật. Cách minh chứng tứ giác là hình chữ nhật cấp tốc nhất

Hình chữ nhật là gì ? Hình chữ nhật bao gồm những đặc thù gì? vết hiệu nhận biết hình chữ nhật như thế nào hay cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật vậy nào cho hay lại nhanh gọn … toàn bộ những mắc mắc này sẽ tiến hành THPT Sóc Trăng share qua nội dung bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH CHỮ NHẬT


1. Định nghĩa

Bạn đang xem: triết lý hình chữ nhật. Cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật cấp tốc nhất

Hình chữ nhật là tứ giác bao gồm bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là 1 hình bình hành.

Bạn đang xem: Hình chữ nhật có mấy góc vuông


*

ABCD">ABCD là hình chữ nhật ⇔A^=B^=C^=D^=90∘">⇔ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=90∘

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một trong những hình bình hành cũng là 1 trong hình thang cân.

2. Tính chất

 Hình chữ nhật là có tất cả các đặc điểm của hình bình hành với hình thang cân.

– nhì cạnh đối tuy nhiên song, nhị cạnh đối bằng nhau, nhị góc đối bởi nhau

– nhì đường chéo bằng nhau và giảm nhau trên trung điểm của mỗi đường.

3. Tín hiệu nhận biết

a) Tứ giác có bố góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân tất cả một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành gồm một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Định lí

a. Định lí 1: Trong Hình chữ nhật, nhì đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngược lại, nếu tứ giác gồm 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và cắt nhau tại O, trong đó OA = OB = OC = OD, minh chứng Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.

*

Xét tam giác ABD có:

OA = OB = OD (gt) => ∆ABD vuông trên A

( Tính chất đường trung tuyến đường ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông )

Chứng minh tương tự, ta có:

∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông trên C, ∆CDA vuông tại D

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.

b. Định lí 2: Áp dụng vào Tam giác

+ vào tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

+ trường hợp một tam giác tất cả đường trung tuyến đường ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, mặt đường cao AH. Call I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

*

⇒ HE là con đường trung đường của Δ AHC.

Xem thêm: Các Kiến Thức Tiếng Anh Cơ Bản Đến Nâng Cao, Tất Tần Tật Ngữ Pháp Tiếng Anh Cơ Bản Từ A Đến Z

⇒ HI = ½AC = AI = IC.

Mà E đối xứng cùng với H qua I ⇒ HI = IE.

Khi kia ta tất cả HI = IE = AI = IC.

+ Xét Δ HCE gồm CI là mặt đường trung đường ứng với cạnh HE

mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông trên C.

Chứng minh tựa như ta có: Δ AHE, Δ AEC hầu hết là những tam giác vuông trên A, E.

Xét tứ giác AHCE tất cả Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°

⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

II. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT CỰC HAY

Cách 1: chứng tỏ hình thang cân bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD cùng với AB // CD, đưa sử góc D = 90°. Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật

*

Theo mang thiết: Góc D = 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

⇒ Góc A + D = 180° (hai góc trong thuộc phía)⇒ Góc A = 90°

Lại gồm Góc A + Góc C = 180° ⇒ Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD bao gồm 3 góc A = B = C = 90°

⇒ ABCD là Hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

Cách 2: chứng tỏ tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD gồm ∆ABC vuông trên A, ∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Bởi vì sao?

Theo bài xích ra, ta có:

∆ABC vuông tại A ⇒ Góc BAC = 90°

∆BCD vuông trên B ⇒ Góc CBD = 90°

∆CDA vuông trên C ⇒ Góc DCA = 90°

⇒ Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do bao gồm bốn góc vuông. ( đ.p.c.m )

Cách 3: chứng tỏ hình bình hành bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, những đường trung con đường BM, CN giảm nhau trên G. Call D là vấn đề đối xứng với B qua M, hotline E là vấn đề đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? bởi vì sao?

*

Theo bài bác ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM cùng GC = 2GN

Điểm D đối xứng cùng với điểm G qua điểm M⇒ MG = MD tuyệt GD = 2GMSuy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng cùng với điểm G qua điểm N⇒ NG = NE giỏi GE = 2GNSuy ra: GC = GE (4)

Từ (3) với (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do nhì đường chéo cánh cắt nhau trên trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM cùng ΔCNB, có:

BC cạnh chungGóc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) với (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành tất cả hai đường chéo cánh bằng nhau. ( đ.p.c.m )

Cách 4: minh chứng hình bình hành gồm một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân nặng tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt những điểm P, Q làm sao cho AP = CQ. Từ bỏ điểm phường vẽ PM // BC (M ở trong AB). Chứng tỏ tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

*

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông trên C ⇒ AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM

⇒ ∆APM vuông cân nặng tại P

⇒ AP = PM

Lại có: AP = CQ

Mà PM // CQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác: Góc C = 90° (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( đ.p.c.m )

III. BÀI TẬP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của những góc A, B, C, D giảm nhau như bên trên hình vẽ. Chứng tỏ rằng EFGH là hình chữ nhật.

Giải

 

*

Đặt

*

Áp dụng đặc thù góc trong cùng phía vào AB//CD, ta được:

 

*

Áp dụng tính chất về góc vào ΔADE , ta được: 

*
 , hay

 

*
 (đối đỉnh)

Chứng minh tựa như ta được 

*
 .

Tứ giác EFGH gồm bốn góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.

Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc cùng với nhau. điện thoại tư vấn E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của những cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? vì sao?

Giải

*

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Từ mang thiết ta tất cả EF, GH máy tự là đường trung bình của những tam giác ABC với ADC. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào nhị tam giác này ta được:

*

Chứng minh tương tự, ta cũng rất được EH//FG//BD. (2)

 Từ (1) với (2) suy ra tứ giác EFGH có các cạnh đối tuy vậy song vì thế nó là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC cùng với BD và I là giao điểm của EF cùng với BD

Áp dụng đặc thù góc đồng vị vào các đường thẳng tuy vậy song sống trên và giả thiết ta có:

*

Như vậy hình bình hành EFGH gồm một góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.

Bài 3: Cho tứ giasc ABCD tất cả AC ⊥ BD. Hotline E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.